Fractal Generator Project

De la génération des fractales
Théorie et Applications

John Bonobo
PhD Applied Mathematics
Bonobo Future Systems Inc. - Nancy, Berlin, 2000-2004.


Table des matières


Notations

1. Introduction


2. Construction d'un ensemble fractal par itération d'une fonction complexe

2.1. Construction théorique, définitions et propriétés élémentaires
2.1.1. Orbites et ensemble fractal
2.1.2. Stabilité des orbites
2.2. Quelques exemples
2.2.1. Les fractales de Mandelbrot et de Julia
2.2.2. Les fractales de Mandelbrot et Julia généralisées
2.2.3. Les fractales de Newton
2.3. Algorithmes de représentation
2.3.1. Premier temps de sortie
2.3.2. Estimateurs de distance
2.3.3. Temps d'entrée (ou pièges à orbites)
2.3.4. Angle de sortie, courbure
2.3.5. Statistiques
2.3.6. Suites de Cauchy et orbites périodiques
2.3.7. Densité des orbites

3. Les fractales de Lyapunov

3.1. Formule d'itération
3.2. Exposant de Lyapunov

4. Transformations du plan

4.1. Effet de loupe gaussienne
4.2. Inversion du plan complexe
4.3. Projection sur la sphère de Riemann

Références


Notations

L'emploi du HTML rend problématique l'affichage de certains symboles mathématiques, par simplicité nous utiliserons les notations suivantes :

N Ensemble des entiers naturels : 0,1,2,3,...
R Ensemble des nombres réels
Rd Espace euclidien à d dimensions
C Ensemble des nombres complexes (de la forme z = x + iy, avec x et y dans R et i2= −1)
  
Dans tout ce texte on ne fera pas la distinction entre l'ensemble R2 et le plan complexe C, autrement dit on assimile tout couple (x,y) ∈ R2 au nombre complexe z = x + iy ∈ C correspondant. On ne refera pas la théorie des nombres complexes, qui permettent ici une écriture plus naturelle et plus simple des formules.

 x 
Racine carrée de x
||(x,y)|| Norme du vecteur (x,y)∈R2, autrement dit la distance entre (x,y) et l'origine (0,0). 
Par le théorème de Pythagore, ||(x,y)|| =  √  x2 + y2 .
z Complexe conjugué de z : si z = x + iy alors z = x − iy.
|z| Module du nombre complexe z : si z = x + iy alors |z|=||(x,y)||.
Infini
f(n)(x)  f itérée n fois : f(n)(x)=f(f(f(...f(x)...)))
  
F Ensemble fractal générique
M Ensemble fractal de Mandelbrot
J(C) Ensemble fractal de Julia "plein" (de paramètre C dans C)
N(P) Ensemble fractal de Newton (associé au polynome complexe P)

Rappels sur les nombres complexes :
On introduit le nombre "imaginaire" i tel que i2= −1.

Forme cartésienne :
z = x + i y avec x et y dans R.
x est la partie réelle de z et y la partie imaginaire de z.

Forme polaire : (on mesure ici les angles en radians, on rappelle que π radians = 180 degrés)
z = r e avec r > 0 et θ∈[0;2π[.
r est le module ou la norme de z (notée |z|) et θ l'argument de z.

Passage d'une forme à l'autre :
On a e = cos(θ) + i sin(θ) (formule d'Euler), d'où
x = r cos θ et y = r sin θ.
D'autre part, grâce au théorème de Pythagore,
r = |z| =  √  x2 + y2 
et, dans un triangle rectangle la tangente est le rapport entre le coté adjacent et le coté opposé à l'angle droit, autrement dit tg(θ)=y/x, donc en tenant compte de l'orientation et en traitant à part le cas x=0,
si x ≠ 0 :     θ = arctg (y/x) si x > 0
θ = arctg (y/x) +π     si x < 0
 
si x = 0 : θ = π/2 si y > 0
θ = 3π/2 si y < 0.


Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe

Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe z
Règles de calcul :
Soient z = x + i y = r e et z′ = x′ + i y′ = r′ eiθ′.

Addition : z + z′ = (x + x′) + i(y + y′)
Multiplication : z z′ = (x x′ − y y′) + i(x y′ + x′ y) = r r′ ⋅ ei(θ + θ′)
Division : z/z′ = (x x′ + y y′)/(x′2 + y′2) + i(&minus x y′ + x′ y)/(x′2 + y′2) = r/r′ ⋅ ei(θ - θ′)
Puissance : zz′ = e z′(log r + iθ) = e x′ log r − y′ θ [ cos (x′ θ + y′ log r ) + i sin (x′ θ + y′ log r ) ]



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Références

Livres et articles

[Bar88] "Fractals Everywhere", Michael Barnsley, Academic Press, San Diego, 1988.

[CEJ91] "Fractals and chaos", A. J. Crilly, R. A. Earnshaw, H. Jones, editors, Springer-Verlag, New York, 1991.

[CM89] "Complex Universality" de Cvitanovic et Myrheim, Comm. Math. Phys. 121, 225-254 (1989)

[Dev89] "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems", R. Devaney, Addison-Wesley, 1989.

[DK89] "Chaos and fractals: the mathematics behind the computer graphics", Robert L. Devaney, and Linda Keen, editors, American Mathematical Society, Providence, RI, 1989.

[Fei80] "Universal Behavior in Nonlinear Systems" Feigenbaum M.J., Los Alamos Science 1, 4-27 (1980)

[FR92] "A Generalized Mandelbrot Set and the Role of Critical Points", M. Frame and J. Robertson, Computers and Graphics 16,No. 1 (1992), pages 35-40.

[Gle87] "La théorie du chaos : vers une nouvelle science" de James Gleick, traduit par Christian Jeanmougin (1999) (original : "Chaos : Making a New Science", Viking Press, New York, 1987)

[Jul18] "Mémoire sur l'itération des fractions rationnelles" de Gaston Julia, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, No. 8 (1918), pages 47-245

[JPS92] "Chaos and Fractals: New Frontiers of Science", H. Jürgens, H.-O. Peitgen, and D. Saupe, Springer, New York, 1992.

[Man75] "Les objets fractals : forme, hasard et dimension, survol du langage fractal" de Benoît Mandelbrot (1975)

[Man77] "The Fractal Geometry of Nature", B. B. Mandelbrot, Freeman, New York, 1977, 1982, 1983.

[PR86] "Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems" de Heinz-Otto Peitgen et Peter H. Richter Springer, Berlin, New York, Tokyo (1986)

[PS89] "The Science of Fractal Images", H.-O. Peitgen and D. Saupe, Springer, Berlin, New York, 1989.

[H94]"A First Course in Discrete Dynamical Systems", R. Homlgren, Springer-Verlag, 1994.

Pages web

Un magnifique PDF sur la génération des fractales
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Benoît Mandelbrot
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The Mandelbrot Set and Julia Sets
An introduction to fractals
Complex Analysis
A virtual investigation with interactive pictures : The Mandelbrot and Julia sets Anatomy and Chaotic dynamics (autre lien), références.
Fractal Frequently Asked Questions and Answers
A short walk through the Mandelbrot Set
Vocabulaire combinatoire de l'imagerie fractale (PDF)


Last modification : John Bonobo @ Tue 10 Dec 2013, 12:12:50.
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