Fractal Generator Project

De la génération des fractales
Théorie et Applications

John Bonobo
PhD Applied Mathematics
Bonobo Future Systems Inc. - Nancy, Berlin, 2000-2004.


Table des matières


Notations

1. Introduction


2. Construction d'un ensemble fractal par itération d'une fonction complexe

2.1. Construction théorique, définitions et propriétés élémentaires
2.1.1. Orbites et ensemble fractal
2.1.2. Stabilité des orbites
2.2. Quelques exemples
2.2.1. Les fractales de Mandelbrot et de Julia
2.2.2. Les fractales de Mandelbrot et Julia généralisées
2.2.3. Les fractales de Newton
2.3. Algorithmes de représentation
2.3.1. Premier temps de sortie
2.3.2. Estimateurs de distance
2.3.3. Temps d'entrée (ou pièges à orbites)
2.3.4. Angle de sortie, courbure
2.3.5. Statistiques
2.3.6. Suites de Cauchy et orbites périodiques
2.3.7. Densité des orbites

3. Les fractales de Lyapunov

3.1. Formule d'itération
3.2. Exposant de Lyapunov

4. Transformations du plan

4.1. Effet de loupe gaussienne
4.2. Inversion du plan complexe
4.3. Projection sur la sphère de Riemann

Références


Notations

L'emploi du HTML rend problématique l'affichage de certains symboles mathématiques, par simplicité nous utiliserons les notations suivantes :

N Ensemble des entiers naturels : 0,1,2,3,...
R Ensemble des nombres réels
Rd Espace euclidien à d dimensions
C Ensemble des nombres complexes (de la forme z = x + iy, avec x et y dans R et i2= −1)
  
Dans tout ce texte on ne fera pas la distinction entre l'ensemble R2 et le plan complexe C, autrement dit on assimile tout couple (x,y) ∈ R2 au nombre complexe z = x + iy ∈ C correspondant. On ne refera pas la théorie des nombres complexes, qui permettent ici une écriture plus naturelle et plus simple des formules.

 x 
Racine carrée de x
||(x,y)|| Norme du vecteur (x,y)∈R2, autrement dit la distance entre (x,y) et l'origine (0,0). 
Par le théorème de Pythagore, ||(x,y)|| =  √  x2 + y2 .
z Complexe conjugué de z : si z = x + iy alors z = x − iy.
|z| Module du nombre complexe z : si z = x + iy alors |z|=||(x,y)||.
Infini
f(n)(x)  f itérée n fois : f(n)(x)=f(f(f(...f(x)...)))
  
F Ensemble fractal générique
M Ensemble fractal de Mandelbrot
J(C) Ensemble fractal de Julia "plein" (de paramètre C dans C)
N(P) Ensemble fractal de Newton (associé au polynome complexe P)

Rappels sur les nombres complexes :
On introduit le nombre "imaginaire" i tel que i2= −1.

Forme cartésienne :
z = x + i y avec x et y dans R.
x est la partie réelle de z et y la partie imaginaire de z.

Forme polaire : (on mesure ici les angles en radians, on rappelle que π radians = 180 degrés)
z = r e avec r > 0 et θ∈[0;2π[.
r est le module ou la norme de z (notée |z|) et θ l'argument de z.

Passage d'une forme à l'autre :
On a e = cos(θ) + i sin(θ) (formule d'Euler), d'où
x = r cos θ et y = r sin θ.
D'autre part, grâce au théorème de Pythagore,
r = |z| =  √  x2 + y2 
et, dans un triangle rectangle la tangente est le rapport entre le coté adjacent et le coté opposé à l'angle droit, autrement dit tg(θ)=y/x, donc en tenant compte de l'orientation et en traitant à part le cas x=0,
si x ≠ 0 :     θ = arctg (y/x) si x > 0
θ = arctg (y/x) +π     si x < 0
 
si x = 0 : θ = π/2 si y > 0
θ = 3π/2 si y < 0.


Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe

Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe z
Règles de calcul :
Soient z = x + i y = r e et z′ = x′ + i y′ = r′ eiθ′.

Addition : z + z′ = (x + x′) + i(y + y′)
Multiplication : z z′ = (x x′ − y y′) + i(x y′ + x′ y) = r r′ ⋅ ei(θ + θ′)
Division : z/z′ = (x x′ + y y′)/(x′2 + y′2) + i(&minus x y′ + x′ y)/(x′2 + y′2) = r/r′ ⋅ ei(θ - θ′)
Puissance : zz′ = e z′(log r + iθ) = e x′ log r − y′ θ [ cos (x′ θ + y′ log r ) + i sin (x′ θ + y′ log r ) ]



2.3. Algorithmes de reprsentation


On a vu qu'un moyen assez efficace d'approcher numriquement les Julia et les Newton est la mthode d'itration inverse. Hlas, cette mthode est trs couteuse en mmoire, pas compltement vidente programmer, et surtout elle ne donne aucun contrle sur la position des points ajouts a chaque tape : elle donne vite une ide grossire de la forme des ensembles, mais force, la plupart des nouveaux points obtenus lors d'une nouvelle tape d'itration repassent sur les prcdents. En clair, elle converge trs lentement (temps exponentiel). Afin d'viter ce "gachis" de calculs qui apporte de moins en moins d'information, on va donc plus simplement, dans un premier temp, chercher rpondre la question :

Etant donn un point (x,y) du plan, appartient−il a l'ensemble que je cherche ?

Si oui, on peut le colorier en noir, et sinon en blanc. De plus, ce type de mthode conviendra pour tous les ensembles fractals, y compris le Mandelbrot.

Dans tous les cas quand on programme on doit se fixer un nombre maximal NITER d'itrations. Vu la dfinition d'un ensemble fractal (les points qui ne fuient pas l'infini sous l'action rpte de l'itration), il faudrait aller jusqu' l'infini pour rpondre exactement la question. Puisque c'est impossible pour l'ordinateur, on devra videmment se contenter de tracer des approximations des ensembles fractals : on fera comme si un point appartenait la fractale si on ne russit pas prouver le contraire dans le temps imparti (cel dit, on peut toujours en tre suffisament proche de sorte que nos yeux ne puissent pas voir la diffrence).

Plus gnralement, on va donner chaque point (x,y) une couleur en fonction de diverses quantits calcules partir de l'orbite tronque (Xn,Yn)n=1,2,... NITER.

2.3.1. Premier temps de sortie

L'ide de ce type d'algorithme est on ne peut plus naturelle : on va regarder si la suite de points (Xn,Yn) part "loin" dans le laps de temps { 0,1,2,...,NITER). On peut dfinir "loin" de plusieurs faons.

Dans le cas de l'ensemble de Mandelbrot, il est assez facile de voir que si pour un n quelconque le point (Xn,Yn) n'appartient plus disque ferm centr en 0 et de rayon 2, la suite de l'orbite ne fait que s'loigner de ce disque, on est donc srs que le point de dpart (x,y) ne fait pas partie de M. D'o l'algorithme suivant :

Pour chaque point (x,y) d'une portion de plan donne, on pose n=0, X0=x et Y0=y, puis :
  • on incrmente n (juqu' NITER au maximum) et on calcule (Xn,Yn) partir de (Xn−1,Yn−1)
  • on teste si ce point est hors du disque :

    Est-ce que Xn2 + Yn2 > 4 ?

    • Si oui, le calcul est fini pour ce point (x,y) : il ne fait pas partie de M. On peut poser N(x,y)=n, le premier temps o l'orbite quitte le disque.
    • Si non, on continue incrmenter n. Si on arrive n=NITER sans que le test soit vrai, on dcide que (x,y) appartient M .
On peut dans un premier temps colorier en noir les points de la fractale, et en blanc les autres. Mais souvent, on colorie le point (x,y) en fonction du temps de sortie N(x,y) calcul lors de l'itration. Si l'on ne dispose que de deux couleurs, on colorie habituellement en noir les points tels que N(x,y) est pair et les autres en blanc par exemple. Plus gnralement aujourd'hui, on utilise une suite continue de couleurs, par exemple un dgrad qui va du rouge (pour N(x,y)=0) au bleu (pour N(x,y)=NITER). On peut aussi utiliser une suite de couleurs priodiques, par exemple de rouge (pour N(x,y)=0,20,40,...) bleu (pour N(x,y)=10,30,50,...) qui se rptent (ici avec une priode de 20) jusque N(x,y)=NITER.

Cet entier N(x,y) est un indicateur de la vitesse laquelle les points s'chappent l'infini. Pour mieux comprendre quoi correspond cette faon de colorier, appelons Mn l'ensemble des points (x,y) tels que l'orbite reste dans le disque jusqu' la nime itration (cette mthode s'applique tous les types de fractales prsents, mme si on n'en parle ici que dans le cas Mandelbrot). La mthode de coloriage choisi revient donner une couleur diffrente chaque Mn. L'ensemble M1 est le disque, et quand n augmente, Mn se rapproche de l'ensemble limite M en lui ressemblant de plus en plus. Evidemment, c'est une suite dcroissante d'ensembles : chaque itration, Mn+1 est inclus dans Mn, on approche M par l'extrieur (Par exemple, le Julia J(0) est le disque unit, les ensembles Jn(0) sont des disques concentriques).

Les lignes de niveau d'itration constant (c'est dire les lignes bordant chaque ensemble Mn) peuvent tre interpretes physiquement : imaginons un aimant taill en forme de M parfait, ou un morceau de mtal en forme de M charg lectriquement. Ces lignes peuvent alors tre vues comme les lignes quipotentielles, sur lesquelles la force lectro-magntique exerce sur un clou serait constante, gale une (fonction croissante de) n.

Bien videmment, on peut imaginer normment de variantes cette mthode : on peut considrer un rayon plus grand pour le disque, et surtout considrer autre chose qu'un disque (ellipse, triangle, toile, etc). Le tout est de choisir un ensemble plus grand que M. Par exemple, on peut prendre un carr, il suffit de remplacer le test de l'algorithme par :

Est-ce que |Xn| > 2 ou |Yn| > 2 ?

ou bien, pour un carr tourn de 45 :

Est-ce que |Xn| + |Yn| > 2 ?

Rien n'oblige choisir une forme ferme, du type polygone ou ellipse, on peut par exemple considrer une forme hyperbolique avec le test :

Est-ce que |XnYn| > 1 ?

Ceci changera la forme des ensembles Mn (on obtiendra par exemple un carr qui se dforme progressivement), mais la limite M reste la mme. Si le but n'est pas la representation fidle de la fractale, mais ... la recherche artistique, alors on peut se passer de choisir un ensemble qui contient M, on obtiendra dans ce cas un ensemble M incomplet, mais toujours une fractale, par exemple, on peut regarder le temps de sortie d'une bande verticale qui traverse M :

Est-ce que |Xn| > 0.5 ?

On peut aussi mlanger plusieurs formes, par exemple en coloriant en bleu les points qui sortent en premier d'un carr droit, en rouge ceux qui sortent d'abord d'un carr oblique, etc.

On peut galement s'intresser au temps de sortie de formes non-constantes, dont la forme dpend en particulier du point de dpart (x,y) de la trajectoire par exemple, ou bien du nombre n d'itrations. L'exemple le plus simple est le premier temps o la trajectoire s'loigne de son point de dpart au dela d'une certaine distance, ce qui conduit un test de type :

Est-ce que (Xn−x)2 + (Yn−y)2 > 1 ?

2.3.2. Estimateurs de distance, rgularisations du comptage d'itrations

Le "temps de sortie" que l'on vient de dfinir a le dsavantage d'tre "discret", c'est dire de sauter brusquement d'une valeur entire une autre. Pour des raisons esthtiques en particulier, on peut avoir envie de calculer d'entourer la fractal par un continuum de couleurs. Evidemment, il faut utiliser une autre mthode que celle du temps de sortie : on ne peut pas faire 1,63 ou 2,12 itrations. Mais grce l'interprtation lectromagntique dj aborde, on peut calculer un potentiel continu, pas ncessairement entier.

Dans le cas o f est un polynme, si z est trs loin de la fractale, on peut donner un quivalent de Zn. Pour le Mandelbrot et les Julia par exemple, l'influence du paramtre C devient ngligeable et
f(z) ~z→∞ z2, donc Zn = fn(z) ~z→∞ z2n     (Si on utilise la place de f un polynme de degr m, il suffit dans ces formules de remplacer 2 par m).
En inversant cette formule, on obtient un quivalent de la distance V(z) entre z et l'ensemble fractal, appele potentiel continu, ou potentiel (lectromagntique) de Douady-Hubbard :
V(z) = limn→∞ (1/(2n)) log |Zn|.
On voit que si la suite (Zn) reste borne (donc si z fait partie de la fractale) alors V(z)=0. Pour z l'extrieur de la fractale, le nombre V(z) est une distance continue M (qui varie l'inverse du temps de sortie). L'entier n apparait exponentiellement dans cette formule, puisque log(Zn) ~ 2n⋅log(z). En prenant encore le logarithme on obtient ainsi une fonction linaire en n : log(log(Zn)) ~ n⋅log(2)⋅log(log(z)).
On appelle ainsi comptage d'itrations "renormalis" la fonction suivante :
μ(z)= n+1 - log(log(Zn))/log(2),
qui est trs proche du nombre d'itrations ncessaire pour sortir d'un domaine donn. C'est peu prs le logarithme de l'inverse du potentiel.

A noter que ces formules demandent priori de calculer Zn pour un n constant assez grand (n=NITER) qui ne depend pas du point de dpart z, en particulier on ne doit pas s'arrter au premier temps de sortie. Mais, encore une fois, toutes les variantes sont imaginables, il faut juste faire attention utiliser l'entier n correspondant Zn.

D'autres faons pour obtenir une fonction continue qui dcrit la vitesse avec laquelle la suite (Zn) tend vers l'infini sont donnes par les diffrents "rgulateurs" issus de l'analyse :

2.3.3. Temps d'entre (ou piges orbites)

Note Tom : c'est a les filtres de Fractal Explorer. Lis ce paragraphe. Dans F.E., X correspond Xn, Y Yn, X c'est le point de dpart X0=x, etc, et Z c'est |Zn|=√(Xn2+Yn2). La "sensibilit du filtre" c'est ce que j'ai appel ε. En tout cas, je dois vraiment vraiment pas tre trs loin du compte avec a.

On peut s'intresser au temps (nombre d'itrations) que met chaque orbite pour entrer dans un certain domaine. Remarquons que l'on peut voir ce temps comme un temps de sortie (du complmentaire), et on mlange souvent ces deux mthodes.

Par exemple, on peut s'intresser au temps que met l'orbite toucher l'axe des abcisses ou des ordonnes. Ce domaine tant infiniment fin, on doit l'largir un peu en se donnant un seuil ε au dessous duquel on considre qu'il y a contact. A chaque itration n, on effectuera donc un test du type (pour une droite verticale d'abcisse a par exemple) :
Est-ce que |Xn − a| < ε ?
Le choix a=0 donne ainsi l'axe des ordonnes. Notons que la connaissance prcise de certains points de la fractale peut-tre utile ici : pour l'ensemble de Mandelbrot, le choix a=-0.75 donne la droite verticale qui passe exactement entre la cardiode et le premier disque gauche. Encore une fois ici, on peut utiliser toutes les formes que l'on veut. Pour un cercle de rayon r centr en (a,b), on testera
Est-ce que | (Xn − a)2 + (Yn − b)2 &minus r2 | < ε ?
Un autre exemple intressant de domaine est les entiers gaussiens, c'est dire l'ensemble des nombres complexes dont la partie relle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs (qui s'crivent donc p+iq avec p et q dans Z). Pour cela, on testera
Est-ce que (Xn − [Xn])2 + (Yn − [Yn])2 < ε ?
o [x] dsigne ici la partie entire de d'un rel x. Comme prcdemment, on peut utiliser une forme qui dpend du point de dpart, par exemple :
Est-ce que |Xn − x| < ε ?
En coloriant en vert par exemple les points dont l'orbite "touche" le domaine choisi avant le temps final N(x,y), on verra comment l'action de l'itration dforme ce domaine.

Dans le cas d'ensembles fins comme ceux qu'on vient de donner en exemple, on peut compliquer la faon de colorier pour donner un effet particulirement intressant : Au lieu de donner une couleur fixe aux points dont l'orbite a touch le domaine, on peut colorier en fonction de la distance entre (Xn,Yn) et l'ensemble. Concrtement, dans le cas de l'axe des ordonnes par exemple, il suffit chaque itration de poser
d = |Xn|,
puis, quand le test
Est-ce que d < ε ?
est vrai, on stoppe les itrations et on affecte une couleur en fonction de d. Cette faon de colorier montre quel point chaque orbite se rapproche de la forme choisie. On peut mlanger cette technique avec celle du temps de sortie, en utilisant deux palettes de couleurs, par exemple de rouge bleu en fonction du temps de sortie N(x,y) (qui varie entre 0 et NITER), de jaune a vert en fonction de d (qui varie entre 0 et ε), ou bien colorier en fonction de N(x,y) + A ⋅ d, avec A une constante choisie.
On peut encore une fois imaginer normment de variantes cette mthode, par exemple on peut considrer le premier temps d'entre aprs la 10me itration (trs utile pour tester si le point revient prs de son point de dpart), le dernier temps d'entre avant N(x,y), l'instant entre 0 et NITER pour lequel d est minimal, le nombre de fois o l'orbite est passe dans le domaine, etc.

2.3.4. Proprits gomtriques et dynamiques des orbites : Angle de sortie, vitesse, acclration et courbure limite

On peut tenter d'obtenir quelques informations sur le comportement limite partir des derniers termes de la suite arrte NITER. Par exemple, la direction avec laquelle l'orbite fuit l'infini (quand c'est le cas) peut tre approche par l'angle de sortie, l'angle sous lequel l'orbite quitte le domaine choisi, au temps de sortie N = N(x,y). On peut considrer cette direction par rapport au point origine (0,0), dans ce cas l'angle de sortie est donn par
θ = arctg ( YN / XN ) si XN > 0 et θ = arctg ( YN / XN ) + 180 si XN < 0.
De la mme faon on peut considrer la direction par rapport un autre point de repre, par exemple le premier terme de la suite (X0,Y0)=(x,y) :
θ = arctg ( (YN−Y0) / (XN−X0) ) si (XN−X0) > 0 et sinon on ajoute 180.
Typiquement, on colorie chaque point de dpart (x,y) en utilisant une fonction priodique applique cet angle, ce qui permet d'utiliser des formules plus simples
cos(θ) = XN / (XN2 + YN2) qui varie de −1 sur le demi-axe horizontal gauche des rels ngatifs 1 pour les rels positifs, en passant par 0 sur tout l'axe vertical des imaginaires.
Penser viter la division par 0 si XN=0 et YN=0, poser cos(θ) = 0 dans ce cas.
sin(θ) = YN / (XN2 + YN2) qui va de −1 pour les nombres de partie imaginaire ngative 1 pour les nombres de partie imaginaire positive, et vaut 0 sur l'axe des rels.
On peut ensuite facilement donner une couleur en fonction de cos(θ)2 (qui donne 1 sur l'axe rel et 0 sur l'axe imaginaire) ou encore de A cos(θ) + B sin(θ), pour A et B deux constantes.
On utilise parfois l'astuce suivante en utilisant deux ou quatre couleurs en fonction simplement du signe de XN et de YN, par exemple on colorie en noir si XN et YN ont le mme signe et en blanc sinon.

On peut utiliser toutes ces formules pour un point de repre (a,b) autre que l'origine, en remplaant systmatiquement XN par (XN−a) et YN par (YN−b).

En particulier, on peut aussi considrer la direction par rapport au point prcdent (XN-1,YN-1), ce qui donne une ide de l'angle instantan de sortie. La suite des diffrences (Xn−Xn-1,Yn−Xn-1) peut tre considre comme la drive de l'orbite (Xn,Yn), elle est en particulier plus sensible aux phnomnes chaotiques. Au temps de sortie, le vecteur vitesse est compos de :
vx = XN − XN-1     (vitesse horizontale)
vy = YN − YN-1     (vitesse verticale).
On obtient donc l'angle instantan en remplaant XN par vx et Yn par vy. La norme du vecteur vitesse est la vitesse instantane v de l'orbite au temps de sortie.
v = √( (XN−XN-1)2 + (YN−YN-1)2 )
Cette quantit

On peut aussi s'intresser l'acclration instantane entre les 3 derniers termes qui se calcule partir des 3 derniers termes de l'orbite. Il s'agit de la diffrence entre le milieu des deux points (XN,YN) et (XN-2,YN-2) et le point intermdiaire (XN-1,YN-1). C'est donc le vecteur de coordonnes :
ax = XN/2 − XN-1 + XN-2/2 (acclration horizontale)
ay = YN/2 − YN-1 + YN-2/2 (acclration verticale).
Si l'orbite progresse linairement, le point intermdiaire est exactement au milieu des deux autres, donc ce vecteur est nul. La norme de ce vecteur traduit donc quel point cette orbite n'volue pas vitesse constante. La direction de ce vecteur est la direction de l'acclration. On peut calculer l'angle d'acclration avec les mmes formules que prcdement, en remplaant XN par ax et Yn par ay.

On peut dcomposer l'acclration dans le repre de Frenet : dans le sens du mouvement est approximativement gale
at = |(XN − XN-1,YN − YN-1)| − |(XN-1 − XN-2,YN-1 − YN-2)|(acclration tangentielle),
et l'acclration perpendiculaire au mouvement, qui courbe la trajectoire, peut tre approche par :
an = √( ax2 + ax2 − at2 ) (acclration normale).

2.3.5. Statistiques

Une ide intressante est de considrer chaque orbite comme une suite alatoire. On peut alors utiliser tous les outils d'analyse de la statistique. Ces formules utilisent tous les termes de la suite Zn, jusqu' un entier N assez grand fix au dpart ( priori, on ne s'arrte pas au premier temps de sortie, mais, encore une fois, toutes les variantes sont imaginables). Afin d'amliorer la stabilit de ces formules, on peut considrer seulement les derniers termes de la suite, en gnral de N/2 N (il faut quand mme utiliser un grand nombre de termes).
Indicateurs de position :
Avec tous ces outils on peut tudier la suite des incrments (d'ordre 1) Vn = ( Zn − Zn-1 ), ou des incrments d'ordre 2 an = ( 1/2⋅Zn − Zn-1 + 1/2⋅Zn-2 ), et considrer son module par exemple. On obtiendra un rsultat diffrent en considrant la suite des incrments du module V′n = ( |Zn| − |Zn-1| ).

Indicateurs de dispersion :
Typiquement, ces indicateurs sont d'autant plus grand que l'orbite "bouge" : Pour une orbite constante ou convergente, ces quantits seront trs petites. Pour une orbite chaotique ou divergente, elles vont tre grandes.

2.3.6. Suites de Cauchy et orbites priodiques

2.3.7. Densit des orbites




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Références

Livres et articles

[Bar88] "Fractals Everywhere", Michael Barnsley, Academic Press, San Diego, 1988.

[CEJ91] "Fractals and chaos", A. J. Crilly, R. A. Earnshaw, H. Jones, editors, Springer-Verlag, New York, 1991.

[CM89] "Complex Universality" de Cvitanovic et Myrheim, Comm. Math. Phys. 121, 225-254 (1989)

[Dev89] "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems", R. Devaney, Addison-Wesley, 1989.

[DK89] "Chaos and fractals: the mathematics behind the computer graphics", Robert L. Devaney, and Linda Keen, editors, American Mathematical Society, Providence, RI, 1989.

[Fei80] "Universal Behavior in Nonlinear Systems" Feigenbaum M.J., Los Alamos Science 1, 4-27 (1980)

[FR92] "A Generalized Mandelbrot Set and the Role of Critical Points", M. Frame and J. Robertson, Computers and Graphics 16,No. 1 (1992), pages 35-40.

[Gle87] "La théorie du chaos : vers une nouvelle science" de James Gleick, traduit par Christian Jeanmougin (1999) (original : "Chaos : Making a New Science", Viking Press, New York, 1987)

[Jul18] "Mémoire sur l'itération des fractions rationnelles" de Gaston Julia, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, No. 8 (1918), pages 47-245

[JPS92] "Chaos and Fractals: New Frontiers of Science", H. Jürgens, H.-O. Peitgen, and D. Saupe, Springer, New York, 1992.

[Man75] "Les objets fractals : forme, hasard et dimension, survol du langage fractal" de Benoît Mandelbrot (1975)

[Man77] "The Fractal Geometry of Nature", B. B. Mandelbrot, Freeman, New York, 1977, 1982, 1983.

[PR86] "Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems" de Heinz-Otto Peitgen et Peter H. Richter Springer, Berlin, New York, Tokyo (1986)

[PS89] "The Science of Fractal Images", H.-O. Peitgen and D. Saupe, Springer, Berlin, New York, 1989.

[H94]"A First Course in Discrete Dynamical Systems", R. Homlgren, Springer-Verlag, 1994.

Pages web

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Fractal Frequently Asked Questions and Answers
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Last modification : John Bonobo @ Tue 10 Dec 2013, 12:12:50.
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