Fractal Generator Project

De la génération des fractales
Théorie et Applications

John Bonobo
PhD Applied Mathematics
Bonobo Future Systems Inc. - Nancy, Berlin, 2000-2004.


Table des matières


Notations

1. Introduction


2. Construction d'un ensemble fractal par itération d'une fonction complexe

2.1. Construction théorique, définitions et propriétés élémentaires
2.1.1. Orbites et ensemble fractal
2.1.2. Stabilité des orbites
2.2. Quelques exemples
2.2.1. Les fractales de Mandelbrot et de Julia
2.2.2. Les fractales de Mandelbrot et Julia généralisées
2.2.3. Les fractales de Newton
2.3. Algorithmes de représentation
2.3.1. Premier temps de sortie
2.3.2. Estimateurs de distance
2.3.3. Temps d'entrée (ou pièges à orbites)
2.3.4. Angle de sortie, courbure
2.3.5. Statistiques
2.3.6. Suites de Cauchy et orbites périodiques
2.3.7. Densité des orbites

3. Les fractales de Lyapunov

3.1. Formule d'itération
3.2. Exposant de Lyapunov

4. Transformations du plan

4.1. Effet de loupe gaussienne
4.2. Inversion du plan complexe
4.3. Projection sur la sphère de Riemann

Références


Notations

L'emploi du HTML rend problématique l'affichage de certains symboles mathématiques, par simplicité nous utiliserons les notations suivantes :

N Ensemble des entiers naturels : 0,1,2,3,...
R Ensemble des nombres réels
Rd Espace euclidien à d dimensions
C Ensemble des nombres complexes (de la forme z = x + iy, avec x et y dans R et i2= −1)
  
Dans tout ce texte on ne fera pas la distinction entre l'ensemble R2 et le plan complexe C, autrement dit on assimile tout couple (x,y) ∈ R2 au nombre complexe z = x + iy ∈ C correspondant. On ne refera pas la théorie des nombres complexes, qui permettent ici une écriture plus naturelle et plus simple des formules.

 x 
Racine carrée de x
||(x,y)|| Norme du vecteur (x,y)∈R2, autrement dit la distance entre (x,y) et l'origine (0,0). 
Par le théorème de Pythagore, ||(x,y)|| =  √  x2 + y2 .
z Complexe conjugué de z : si z = x + iy alors z = x − iy.
|z| Module du nombre complexe z : si z = x + iy alors |z|=||(x,y)||.
Infini
f(n)(x)  f itérée n fois : f(n)(x)=f(f(f(...f(x)...)))
  
F Ensemble fractal générique
M Ensemble fractal de Mandelbrot
J(C) Ensemble fractal de Julia "plein" (de paramètre C dans C)
N(P) Ensemble fractal de Newton (associé au polynome complexe P)

Rappels sur les nombres complexes :
On introduit le nombre "imaginaire" i tel que i2= −1.

Forme cartésienne :
z = x + i y avec x et y dans R.
x est la partie réelle de z et y la partie imaginaire de z.

Forme polaire : (on mesure ici les angles en radians, on rappelle que π radians = 180 degrés)
z = r e avec r > 0 et θ∈[0;2π[.
r est le module ou la norme de z (notée |z|) et θ l'argument de z.

Passage d'une forme à l'autre :
On a e = cos(θ) + i sin(θ) (formule d'Euler), d'où
x = r cos θ et y = r sin θ.
D'autre part, grâce au théorème de Pythagore,
r = |z| =  √  x2 + y2 
et, dans un triangle rectangle la tangente est le rapport entre le coté adjacent et le coté opposé à l'angle droit, autrement dit tg(θ)=y/x, donc en tenant compte de l'orientation et en traitant à part le cas x=0,
si x ≠ 0 :     θ = arctg (y/x) si x > 0
θ = arctg (y/x) +π     si x < 0
 
si x = 0 : θ = π/2 si y > 0
θ = 3π/2 si y < 0.


Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe

Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe z
Règles de calcul :
Soient z = x + i y = r e et z′ = x′ + i y′ = r′ eiθ′.

Addition : z + z′ = (x + x′) + i(y + y′)
Multiplication : z z′ = (x x′ − y y′) + i(x y′ + x′ y) = r r′ ⋅ ei(θ + θ′)
Division : z/z′ = (x x′ + y y′)/(x′2 + y′2) + i(&minus x y′ + x′ y)/(x′2 + y′2) = r/r′ ⋅ ei(θ - θ′)
Puissance : zz′ = e z′(log r + iθ) = e x′ log r − y′ θ [ cos (x′ θ + y′ log r ) + i sin (x′ θ + y′ log r ) ]


2.2. Quelques exemples

2.2.1. Les fractales de Mandelbrot et de Julia

Benot Mandelbrot, 1924-
Gaston Maurice Julia, 1893-1978


Partant de tout point z = x + iy = (x,y), on construit la suite complexe (Zn) par la formule de rcurrence :

Z0 = z
Zn+1 = Zn2 + C,

o C=z dans le cas Mandelbrot et C constant dans le cas Julia.
En coordonnes relles, cela revient donc a construire deux suites (Xn) et (Yn) telles que :

X_0 = x
Y_0 = y

et
Xn+1 = Xn2 −Yn2 + Cx
Yn+1 = 2XnYn + Cy.

o Cx = x et Cy = y dans le cas Mandelbrot, et Cx et Cy sont des constantes dans le cas Julia.
L'ensemble de Mandelbrot
L'ensemble M de Mandelbrot

Un ensemble de Julia
L'ensemble J(C) de Julia
avec C = 0,72 + 0,11i
Un ensemble de Julia
L'ensemble J(C) de Julia
avec C = 0,28 − 0,02i
On notera J(C) l'ensemble fractal de Julia de paramtre C, comme dfini prcdemment. On devrait parler de Julia "plein" ou "rempli" (filled Julia set), car au sens strict l'ensemble de Julia n'est que la frontire ∂J(C) de l'ensemble que nous venons de dfinir, mais cet abus de langage est frquent.

On notera M l'ensemble fractal de Mandelbrot. Pour simplifier on dira juste "le Julia" et "le Mandelbrot".

2.2.1.1. Description fine des ensembles de Mandelbrot et Julia
2.2.1.1.1 Proprits lmentaires des Julia et du Mandelbrot
Remarquons qu'il y une infinit de Julia , un diffrent pour chaque choix de C. Par contre, il n'y a qu'un seul Mandelbrot. Les Julia ont une forme trs autosimilaire : les dtails qui apparaissent lorsqu'on zoome le voisinage d'une partie de la frontire sont fortement similaires l'ensemble entier. L'ensemble de Mandelbrot est sensiblement plus complexe, on peut mme en un certain sens le considrer comme une carte, un rsum des Julia : chaque point C du Mandelbrot "ressemble" au Julia de paramtre C.

Plus concrtement, on peut lire directement sur les quations que l'orbite (Zn) du point 0 pour le Julia de paramtre C est exactement la mme que l'orbite du point C pour le Mandelbrot (ventuellement, un dcalage d'indice prs). Donc, en particulier :
i) Le point 0 appartient J(C) si et seulement si le point C appartient M.
Le point 0 est particulier car c'est l'unique point critique de la fonction f(z) = z2 + C (ce qui veut simplement dire que ∂f/∂z(0) = 0), et important cause d'un rsultat d Fatou, dont une consquence est la suivante :

Thorme de Pierre Fatou, 1878-1929
Si un polynme ou une fraction rationnelle possde un p-cycle stable, alors au moins un des points critiques va converger vers ce cycle.

L'ensemble de Mandelbrot est donc l'ensemble des C tels que la fonction f possde un cycle attracteur (attractive cycle) stable.


Les proprits suivantes sont des exercices (plus ou moins) faciles :
ii) L'ensemble de Mandelbrot est symtrique par rapport l'axe des abcisses (axe des rels).
iii) L'ensemble de Mandelbrot est inclus dans le disque ferm centr en 0 de rayon 2.
iv) Chaque ensemble de Julia est symtrique par rapport au point 0 (invariant par rotation de 180).
v) L'ensemble de Julia J(C) est le symtrique de l'ensemble J(C) par rapport l'axe des abcisses (o C est le complexe conjugu de C, c'est dire le symtrique de C par rapport l'axe des abcisses).
vi) Consquence immdiate de la proprit prcdente : si C=C, autrement dit pour C rel, l'ensemble de Julia J(C) est de plus symtrique par rapport l'axe des abcisses, donc galement symtrique par rapport l'axe des ordonnes.
vii) L'ensemble de Julia de paramtre C est inclus dans le disque ferm centr en 0 de rayon max(2;|C|).
viii) Pour C=0, l'ensemble de Julia J(0) est le disque ferm centr en 0 de rayon 1.
ix) Pour C=-2, l'ensemble de Julia J(-2) est le segment [-2,0].
2.2.1.1.2 Connexit des Julia et lien avec le Mandelbrot
On sait dmontrer que si un Julia ne contient pas 0, alors il n'est pas connexe (il n'est pas fait d'un seul bloc). On peut le comprendre intuitivement, car 0 est le centre de symtrie de tous les Julia. (Donc ce point va tre systmatiquement absent des rptitions de plus en plus petites de l'ensemble). On appelle ce rsultat la dichotomie fondamentale des Julia, il n'y a que deux possibilits : Ainsi en utilisant la "proprit lmentaire" i), on peut dire que

M est form des points C tels que J(C) est connexe.

Le Mandelbrot peut donc tre vu comme une carte de la connexit des Julia. Quand on choisit C l'intrieur de M, le Julia J(C) est fait d'un seul bloc, d'autant plus large que C est loin de la frontire de M. Pour C sur la frontire, J(C) devient trs fin (d'intrieur nul), puis au-del, pour un C l'exterieur de M, J(C) est rduit une poussire de points, d'autant plus fine que C est loin de M.

2.2.1.1.3. Priodes des bulbes du Mandelbrot
Le Mandelbrot peut tre assimil une sorte carte de l'itration des polynmes complexes du second degr f(z) = az2 + bz + c. Par un changement d'chelle et une translation, on peut se limiter tudier les polynmes de la forme :
f(z) = z2 + C.
Analysons la stabilit de l'itration de cette fonction au moyen des outils de la section 1.1.2. Tout dpend du seul paramtre complexe C, ce qui va permettre une reprsentation graphique bidimensionnelle complte.

Pour un point donn C, les points fixes de f vrifient
f(z) = z2 + C = z, soit z2 − z + C = 0,
donc on a deux points fixes α (distincts sauf si C=1/4 ) en fonction de C :
α = 1/2 ⋅ ( 1 ±√ 1 − 4C ).
Etudions la stabilit de ces points fixes, cherchons o sont les points C tels que le module |f′(α)| soit gal une constante r donne. En utilisant les coordonnes polaires, crivons :
f′(α) = r eit     ( pour t∈[0,2π[ et r > 0 ).
Comme f′(z) = 2z,
1±√ 1 − 4C = r eit, soit 1 − 4C = ( r eit − 1 )2,
d'o, en cherchant regrouper les exponentielles complexes en cosinus,
C = r/2eitr2/4e2it = r/2eit ( 1 − r/2eit ) = r/2eit ( 1 − r/2eitr/2e− it + r/2e− it ) = r/2eit ( 1 − r cos t ) + r2/4.
Pour r = |f′(α)| = 1, on obtient l'ensemble des C tels qu'au moins un des points fixes α soit neutre : cette courbe est la frontire entre la stabilit et l'instabilit lors de l'itration de f. En coordonnes polaires centres en (x,y) = ( 1/4 , 0 ) , cette courbe prend la forme simple :
&rho(t) = 1/2 ⋅ ( 1 − cos t ), pour t∈[0,2π[.
On peut reconnaitre l'quation d'une cardiode (forme de coeur), qui est la composante principale de l'ensemble de Mandelbrot.

L'intrieur de la cardiode principale du Mandelbrot M reprsente les points C tels que les points fixes de la fonction f(z)=z2+C sont stables, donc tels que l'orbite de C sous l'action de f est convergente vers un point fixe. Sur l'axe rel, elle s'tend de x=1/4 droite (pour t=0) x=−3/4 (pour t=π). En coordonnes cartsiennes, son quation ( paramtre par t∈[0,2π[ ) s'crit :
x(t) = 1/2 ⋅ cos t ⋅ (1 − cos t ) + 1/4,
y(t) = 1/2 ⋅ sin t ⋅ (1 − cos t ).

Pour tout C l'intrieur de cette cardiode, donc pour C = r/2eit ( 1 − r cos t ) + r2/4 avec r < 1, les deux points fixes de f sont :
α = r/2eit     et     α = 1 − r/2eit.
Ces points sont stables puisque |f′(α)| = r < 1.


... blablabla ...


La composante principale de l'ensemble de Mandelbrot

La composante principale de M.

Si l'on veut tudier les 2-cycles, il faut s'intresser la fonction f itre 2 fois. En effet, les points 2-priodiques pour f sont les points fixes de f(2), ils vrifient donc :
f(2)(z) = f(f(z)) = ( z2 + C )2 + C = z, soit z4 + 2Cz2 − z + C2 + C = ( z2 − z + C ) ⋅ ( z2 + z + C + 1 ) = 0.
On retrouve le polynme dj rencontr f(z) − z = z2 − z + C en facteur, puisque les points fixes sont en particulier 2-priodiques. On a ainsi 4 points solutions, les deux points fixes α dj calculs, et les deux points priodiques suivants :
β = 1/2 ⋅ ( −1 ±√ −3 − 4C ).
Pour tudier la stabilit de ces points fixes, on s'intresse la drive de f(2). On a /∂zf(2)(z) = 4z3 + 4Cz = 4z( z2+C ), donc, aux points β,
/∂zf(2)(β) = 4β( β2 + C ) = 4β( − β − 1 ) = −4( β2 + β ) = 4( C + 1 ),
car β2+C = − β − 1 et β2 + β = − C − 1 en utilisant l'quation β2 + β + C + 1 = 0. Comme prcdemment, on paramtrise l'ensemble des points C tel que les points fixes β sont stables grce aux coordonnes polaires :
/∂zf(2)(β) = r eit, d'o C = −1 + r/4eit.
Pour r=1, la limite entre la stabilit et l'instabilit des points fixes pour f(2) est donc un cercle de centre −1 et de rayon 1/4. C'est le plus gros "bulbe" secondaire du Mandelbrot, tangent la cardiode en x=−3/4.
La premiere composante secondaire de l'ensemble de Mandelbrot

La premire composante secondaire de M.

On peut continuer indfiniment de la sorte, et l'tude de chaque fonction f(n)(z)−z nous donnera de nouveaux bulbes reprsentant les points fixes stables pour f(n), autrement dit les points n-priodiques stables pour f. L'ensemble de Mandelbrot est aussi l'ensemble des valeurs d'adhrences des points fixes ou priodiques, et stables de la fonction f(z)=z2+C. Cependant cette quation se complique extrmement vite, elle devient rapidement inextricable la main.

Intressons-nous la suite de disques aligns sur l'axe rel, gauche de la cardode. Nous avons vu que le premier disque, centr en -1, est exactement l'ensemble des point 2-priodiques (non-fixes) stables pour f. Le disque suivant est un ensemble de points 4-priodiques stables, le suivant correspond une priode de 8, etc.

Ce phnomne de cascade de doublement de priode pour les fonction relles t tudi en particulier par Feigenbaum. On peut l'observer sur ce diagramme droite. En abscisse, la valeur de C est ici un nombre rel entre -3 et 1, align avec les bulbes du Mandelbrot M des graphes au-dessus, et sur l'axe des ordonnes on a reprsent les valeurs d'adhrence (qui sont toutes relles, entre −2 et 2) de la suite (Zn) obtenue par itration de f.
Ce dessin reprsente donc le comportement limite des orbites, partant de l'axe rel, c'est dire de la tranche mdiane de M.

On observe nettement le phnomne de doublement de priode : cette suite a une limite pour C dans la cardiode (−0,75 < C < 0,25), deux valeurs d'adhrence dans le premier disque (−1,25 < C < −0,75), quatre valeurs dans le disque suivant, etc.
Quand C diminue, ces doublements sont de plus en plus rapprochs, et d'intensit faible, tel point qu'ils ont une fin mme s'ils sont en nombre infini. En-dessous d'une certain seuil (pour −2 < C < −1,401155...), au-del de la fin de la suite de disque, les orbites deviennent chaotiques, il y a une infinit de valeurs d'adhrence.
Le diagramme est complet, puisque la suite diverge si C < −2 ou C > 0,25, c'est dire l'extrieur de M, dans ce cas il n'y a donc aucune valeur d'adhrence.
Le diagramme de Feigenbaum associ  x^2+c

Le diagramme de Feigenbaum associ l'itration de la fonction x→x2+C, pour C∈[-3;1].

La ligne rouge reprsente la limite de Feigenbaum (C = −1,401155...) entre la cascade de doublements de priode et le chaos.
2.2.1.1.4. Quelques points remarquables du Mandelbrot
2.2.1.1.5. Quelques Julia remarquables
2.2.1.2. Un premier algorithme pour tracer les Julia : La mthode d'itration inverse (ou d'orbite inverse)

Connaissant Zn+1 et C, on peut calculer les 2 racines de la formule d'itration de l'ensemble de Julia :
Zn = ±√ Zn+1−C  .
Ces deux points sont deux antcdents possibles pour Zn+1. Partant d'un point quelconque du plan (en gnral 0), on peut ainsi calculer 2n antcdents en n tapes d'itrations inverse. Les orbites de ces points arrivent en 0 au bout de n tapes, en particulier elles ne fuient donc pas vite l'infini. On peut montrer que ces points sont denses dans la frontire de J, ils donnent ainsi rapidement une bonne ide graphique de la forme de J (mme si le point de dpart n'appartient pas au Julia, on peut donc toujours partir de 0).

On commence donc par choisir un n assez grand (en pensant rserver de la mmoire pour stocker 2n points), puis on pose

Xn+1 = 0   et   Yn+1 = 0.

Pour calculer effectivement la racine partir de nombres rels, on doit passer par la forme polaire des complexes :
Posons

mn+1 = √  (Xn+1−Cx )2 + (Yn+1−Cy )2         (le module de Zn+1−C, c'est dire la distance du point (Xn+1−Cx ,Yn+1−Cy ) au centre (0,0) )
et
an+1 = arctg[ (Yn+1−Cy )/(Xn+1−Cx ) ]     (l'argument de Zn+1−C, c'est dire l'angle entre le vecteur de coordonnes (Xn+1−Cx ,Yn+1−Cy ) et l'axe des abcisses),

on obtient alors deux antcdents (Xn,Yn) et (−Xn,−Yn) avec :

Xn = √  mn+1   ⋅ cos(1/2 an+1)
Yn = √  mn+1   ⋅ sin(1/2 an+1)
Puis on recommence, pour chaque antcdent obtenu. A l'tape suivante (n−1), on obtiendra donc 4 antcdents, puis 8 l'tape n−2, etc.

Remarquons que cet algorithme ne peut pas tre utilis pour approcher le Mandelbrot.

2.2.2. Ensembles de Mandelbrot et Julia gnraliss


On peut gnraliser la notion d'ensembles de Mandelbrot et Julia en utilisant un polynme complexe P quelconque dans la formule d'itration :
Z0 = z
Zn+1 = P(Zn)+C.

Le cas P(Z)=Z2 correspond videmment aux ensembles de Mandelbrot (C=z) et de Julia (C constant) classique. Pour P polynme quelconque, on parle de Mandelbrot ou Julia associ P (dans le cas P(Z)=Zm on parle aussi de Mandelbrot ou Julia gnralis d'ordre m, ou de Mandelbrot puissance m). La relation entre Mandelbrot (C=z) et famille de Julia (C constant) aborde prcedemment est toujours vraie.

Par exemple, pour P(Z)=Z3 (on parle alors de Mandelbrot-cube ou de Julia-cube), les formules s'crivent de la faon suivante en coordonnes relles :

Xn+1 = Xn3 − 3 Xn Yn2 + Cx
Yn+1 = 3 Xn2 Yn − Yn3 + Cy.

La mthode d'itration inverse s'applique aussi dans ce cadre (mais toujours uniquement pour les Julia) : toute la difficult est d'arriver crire une formule similaire donnant les racines de P (pour P avec un grand nombre de racines distinctes, la formule devient trs complique).

Evidemment, on peut utiliser d'autres fonction qu'un polynme, en particulier une fraction rationnelle (quotient de deux polynmes), le mathmaticien Julia tudiait notamment l'itration de la fonction
P(Z) = Z4 + Z3/(Z−1) + Z2/(Z3 + 4 Z2 + 5).
On utilise aussi les fonctions drives de l'exponentielle complexe, dans ce cas le paramtre C est gnralement introduit multiplicativement (plutt qu'additivement) dans la formule d'itration, par exemple on parle du "Julia de sinus" pour la formule :
Zn+1 = C sin(Zn),
qui s'crit en coordonnes relles :
Xn+1 = sin(Xn) * [ (Cx−Cy) exp(Yn) + (Cx+Cy) exp(−Yn) ]
Yn+1 = sin(Xn) * [ (Cx+Cy) exp(Yn) − (Cx−Cy) exp(−Yn) ].
Un ensemble Julia de sinus
L'ensemble Julia de sinus pour C=1+0,1i
Parmi les autres formules couramment utilises on peut citer :
Zn+1 = C i cos(Zn)
Zn+1 = C exp (Zn)
Zn+1 = C Zn (1 − Zn)
Zn+1 = sin(Zn) + exp(z) + C
Zn+1 = sin(Zn) + exp(C) + z
Les fractales obtenues grce aux deux dernires formules furent appeles "biomorphs" par C.A. Pickover.

2.2.3. Les fractales de Newton

Sir Isaac Newton, 1642-1727


Newton savait que tout polynme complexe P de degr m, c'est dire une fonction de la forme
P(Z)= a0 + a1Z + a2Z2 + ... + amZm,
a au plus m racines dans C. Mais quand m est grand, trouver les racines de P (les points o P s'annule, on dit aussi les zros de P) en fonction des coefficients a0, ... ,am devient vite un problme inextricable, et Newton a invent un algorithme de recherche des racines. Il construisait une suite (Zn) par la formule :

Z0 = z
Zn+1 = ZnP(Zn)/P′(Zn).
Partant d'un z "bien choisi", la suite (Zn) converge vers une racine de P.
On appelle ensemble fractal de Newton associ P, not N(P), l'ensemble fractal associ cette formule d'itration. Sa forme semble tisse entre les racines de P. Remarquons qu'on peut prendre n'importe quelle fonction (holomorphe et possdant au moins deux racines de prfrence) la place de P.
L'exemple classique est P(Z) = Zm − 1, qui a m racines disposes en rond sur le cercle unit (et comme lorsqu'on compose un bouquet de fleurs, choisir un nombre m impair aboutira une agrable assymtrie...).
Par exemple, pour P(Z)=Z3−1, les formules s'crivent de la faon suivante en coordonnes relles :

Xn+1 = Xn( Xn5 − 10 Xn3 Yn2 + 5 Xn Yn4 − Xn2 + Yn2 )/3( Xn4 + 4 Xn2 Yn2 + Yn4 )
Yn+1 = Yn( 5 Xn4 Yn − 10 Xn2 Yn3 + Yn5 − 2 Xn Yn )/3( Xn4 + 4 Xn2 Yn2 + Yn4 ).
Un ensemble de Newton

L'ensemble N(P) de Newton
avec P(Z)=Z5−1
On peut videmment mlanger le principe du Mandelbrot et du Newton en considrant
Zn+1 = ZnP(Zn)/P′(Zn) + C     ou encore     Zn+1 = Zn − C ⋅ P(Zn)/P′(Zn).


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Références

Livres et articles

[Bar88] "Fractals Everywhere", Michael Barnsley, Academic Press, San Diego, 1988.

[CEJ91] "Fractals and chaos", A. J. Crilly, R. A. Earnshaw, H. Jones, editors, Springer-Verlag, New York, 1991.

[CM89] "Complex Universality" de Cvitanovic et Myrheim, Comm. Math. Phys. 121, 225-254 (1989)

[Dev89] "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems", R. Devaney, Addison-Wesley, 1989.

[DK89] "Chaos and fractals: the mathematics behind the computer graphics", Robert L. Devaney, and Linda Keen, editors, American Mathematical Society, Providence, RI, 1989.

[Fei80] "Universal Behavior in Nonlinear Systems" Feigenbaum M.J., Los Alamos Science 1, 4-27 (1980)

[FR92] "A Generalized Mandelbrot Set and the Role of Critical Points", M. Frame and J. Robertson, Computers and Graphics 16,No. 1 (1992), pages 35-40.

[Gle87] "La théorie du chaos : vers une nouvelle science" de James Gleick, traduit par Christian Jeanmougin (1999) (original : "Chaos : Making a New Science", Viking Press, New York, 1987)

[Jul18] "Mémoire sur l'itération des fractions rationnelles" de Gaston Julia, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, No. 8 (1918), pages 47-245

[JPS92] "Chaos and Fractals: New Frontiers of Science", H. Jürgens, H.-O. Peitgen, and D. Saupe, Springer, New York, 1992.

[Man75] "Les objets fractals : forme, hasard et dimension, survol du langage fractal" de Benoît Mandelbrot (1975)

[Man77] "The Fractal Geometry of Nature", B. B. Mandelbrot, Freeman, New York, 1977, 1982, 1983.

[PR86] "Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems" de Heinz-Otto Peitgen et Peter H. Richter Springer, Berlin, New York, Tokyo (1986)

[PS89] "The Science of Fractal Images", H.-O. Peitgen and D. Saupe, Springer, Berlin, New York, 1989.

[H94]"A First Course in Discrete Dynamical Systems", R. Homlgren, Springer-Verlag, 1994.

Pages web

Un magnifique PDF sur la génération des fractales
Sur la coloration
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The Mandelbrot Set and Julia Sets
An introduction to fractals
Complex Analysis
A virtual investigation with interactive pictures : The Mandelbrot and Julia sets Anatomy and Chaotic dynamics (autre lien), références.
Fractal Frequently Asked Questions and Answers
A short walk through the Mandelbrot Set
Vocabulaire combinatoire de l'imagerie fractale (PDF)


Last modification : John Bonobo @ Tue 10 Dec 2013, 12:12:50.
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