De la génération des fractales
Théorie et Applications

Table des matières

Notations

Rappels sur les nombres complexes :

On introduit le nombre "imaginaire" i tel que i2= −1. Forme cartésienne : z = x + i y avec x et y dans R. x est la partie réelle de z et y la partie imaginaire de z. Forme polaire : (on mesure ici les angles en radians, on rappelle que π radians = 180 degrés) z = r eiθ avec r > 0 et θ∈[0;2π[. r est le module ou la norme de z (notée |z|) et θ l'argument de z. Passage d'une forme à l'autre : On a eiθ = cos(θ) + i sin(θ) (formule d'Euler), d'où x = r cos θ et y = r sin θ. D'autre part, grâce au théorème de Pythagore, r = |z| =  √  x2 + y2  et, dans un triangle rectangle la tangente est le rapport entre le coté adjacent et le coté opposé à l'angle droit, autrement dit tg(θ)=y/x, donc en tenant compte de l'orientation et en traitant à part le cas x=0, si x ≠ 0 :     θ = arctg (y/x) si x > 0 θ = arctg (y/x) +π     si x < 0   si x = 0 : θ = π/2 si y > 0 θ = 3π/2 si y < 0.

Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe z

2.2. Quelques exemples

2.2.1. Les fractales de Mandelbrot et de Julia

Benot Mandelbrot, 1924- Gaston Maurice Julia, 1893-1978 Partant de tout point z = x + iy = (x,y), on construit la suite complexe (Zn) par la formule de rcurrence : Z0 = z Zn+1 = Zn2 + C, o C=z dans le cas Mandelbrot et C constant dans le cas Julia. En coordonnes relles, cela revient donc a construire deux suites (Xn) et (Yn) telles que : X_0 = x Y_0 = y et Xn+1 = Xn2 −Yn2 + Cx Yn+1 = 2XnYn + Cy. o Cx = x et Cy = y dans le cas Mandelbrot, et Cx et Cy sont des constantes dans le cas Julia.

L'ensemble M de Mandelbrot L'ensemble J(C) de Julia avec C = 0,72 + 0,11i L'ensemble J(C) de Julia avec C = 0,28 − 0,02i

2.2.1.1. Description fine des ensembles de Mandelbrot et Julia

2.2.1.1.1 Proprits lmentaires des Julia et du Mandelbrot

i) Le point 0 appartient J(C) si et seulement si le point C appartient M.

ii) L'ensemble de Mandelbrot est symtrique par rapport l'axe des abcisses (axe des rels).

iii) L'ensemble de Mandelbrot est inclus dans le disque ferm centr en 0 de rayon 2.

iv) Chaque ensemble de Julia est symtrique par rapport au point 0 (invariant par rotation de 180).

v) L'ensemble de Julia J(C) est le symtrique de l'ensemble J(C) par rapport l'axe des abcisses (o C est le complexe conjugu de C, c'est dire le symtrique de C par rapport l'axe des abcisses).

vi) Consquence immdiate de la proprit prcdente : si C=C, autrement dit pour C rel, l'ensemble de Julia J(C) est de plus symtrique par rapport l'axe des abcisses, donc galement symtrique par rapport l'axe des ordonnes.

vii) L'ensemble de Julia de paramtre C est inclus dans le disque ferm centr en 0 de rayon max(2;|C|).

viii) Pour C=0, l'ensemble de Julia J(0) est le disque ferm centr en 0 de rayon 1.

ix) Pour C=-2, l'ensemble de Julia J(-2) est le segment [-2,0].

2.2.1.1.2 Connexit des Julia et lien avec le Mandelbrot

• soit le point 0 n'appartient pas au Julia (c'est dire l'orbite du point 0 n'est pas borne), et dans ce cas le Julia n'est qu'une poussire de point espacs les uns des autres, dite poussire de Cantor,
• soit le point 0 appartient au Julia et dans ce cas le Julia est un ensemble connexe.

M est form des points C tels que J(C) est connexe.

2.2.1.1.3. Priodes des bulbes du Mandelbrot

f(z) = z² + C.

f(z) = z² + C = z, soit z² − z + C = 0,

α = ¹/₂ ⋅ ( 1 ±√ 1 − 4C ).

f′(α) = r e^it     ( pour t∈[0,2π[ et r > 0 ).

1±√ 1 − 4C = r e^it, soit 1 − 4C = ( r e^it − 1 )²,

C = ^r/₂e^it − ^r2/₄e^2it = ^r/₂e^it ( 1 − ^r/₂e^it ) = ^r/₂e^it ( 1 − ^r/₂e^it − ^r/₂e^{− it} + ^r/₂e^{− it} ) = ^r/₂e^it ( 1 − r cos t ) + ^r2/₄.

Pour r = |f′(α)| = 1, on obtient l'ensemble des C tels qu'au moins un des points fixes α soit neutre : cette courbe est la frontire entre la stabilit et l'instabilit lors de l'itration de f. En coordonnes polaires centres en (x,y) = ( 1/4 , 0 ) , cette courbe prend la forme simple : &rho(t) = 1/2 ⋅ ( 1 − cos t ), pour t∈[0,2π[. On peut reconnaitre l'quation d'une cardiode (forme de coeur), qui est la composante principale de l'ensemble de Mandelbrot. L'intrieur de la cardiode principale du Mandelbrot M reprsente les points C tels que les points fixes de la fonction f(z)=z2+C sont stables, donc tels que l'orbite de C sous l'action de f est convergente vers un point fixe. Sur l'axe rel, elle s'tend de x=1/4 droite (pour t=0) x=−3/4 (pour t=π). En coordonnes cartsiennes, son quation ( paramtre par t∈[0,2π[ ) s'crit : x(t) = 1/2 ⋅ cos t ⋅ (1 − cos t ) + 1/4, y(t) = 1/2 ⋅ sin t ⋅ (1 − cos t ). Pour tout C l'intrieur de cette cardiode, donc pour C = r/2eit ( 1 − r cos t ) + r2/4 avec r < 1, les deux points fixes de f sont : α = r/2eit     et     α = 1 − r/2eit. Ces points sont stables puisque |f′(α)| = r < 1. ... blablabla ...	La composante principale de M.
Si l'on veut tudier les 2-cycles, il faut s'intresser la fonction f itre 2 fois. En effet, les points 2-priodiques pour f sont les points fixes de f(2), ils vrifient donc : f(2)(z) = f(f(z)) = ( z2 + C )2 + C = z, soit z4 + 2Cz2 − z + C2 + C = ( z2 − z + C ) ⋅ ( z2 + z + C + 1 ) = 0. On retrouve le polynme dj rencontr f(z) − z = z2 − z + C en facteur, puisque les points fixes sont en particulier 2-priodiques. On a ainsi 4 points solutions, les deux points fixes α dj calculs, et les deux points priodiques suivants : β = 1/2 ⋅ ( −1 ±√ −3 − 4C ). Pour tudier la stabilit de ces points fixes, on s'intresse la drive de f(2). On a ∂/∂zf(2)(z) = 4z3 + 4Cz = 4z( z2+C ), donc, aux points β, ∂/∂zf(2)(β) = 4β( β2 + C ) = 4β( − β − 1 ) = −4( β2 + β ) = 4( C + 1 ), car β2+C = − β − 1 et β2 + β = − C − 1 en utilisant l'quation β2 + β + C + 1 = 0. Comme prcdemment, on paramtrise l'ensemble des points C tel que les points fixes β sont stables grce aux coordonnes polaires : ∂/∂zf(2)(β) = r eit, d'o C = −1 + r/4eit. Pour r=1, la limite entre la stabilit et l'instabilit des points fixes pour f(2) est donc un cercle de centre −1 et de rayon 1/4. C'est le plus gros "bulbe" secondaire du Mandelbrot, tangent la cardiode en x=−3/4.	La premire composante secondaire de M.
On peut continuer indfiniment de la sorte, et l'tude de chaque fonction f(n)(z)−z nous donnera de nouveaux bulbes reprsentant les points fixes stables pour f(n), autrement dit les points n-priodiques stables pour f. L'ensemble de Mandelbrot est aussi l'ensemble des valeurs d'adhrences des points fixes ou priodiques, et stables de la fonction f(z)=z2+C. Cependant cette quation se complique extrmement vite, elle devient rapidement inextricable la main. Intressons-nous la suite de disques aligns sur l'axe rel, gauche de la cardode. Nous avons vu que le premier disque, centr en -1, est exactement l'ensemble des point 2-priodiques (non-fixes) stables pour f. Le disque suivant est un ensemble de points 4-priodiques stables, le suivant correspond une priode de 8, etc. Ce phnomne de cascade de doublement de priode pour les fonction relles t tudi en particulier par Feigenbaum. On peut l'observer sur ce diagramme droite. En abscisse, la valeur de C est ici un nombre rel entre -3 et 1, align avec les bulbes du Mandelbrot M des graphes au-dessus, et sur l'axe des ordonnes on a reprsent les valeurs d'adhrence (qui sont toutes relles, entre −2 et 2) de la suite (Zn) obtenue par itration de f. Ce dessin reprsente donc le comportement limite des orbites, partant de l'axe rel, c'est dire de la tranche mdiane de M. On observe nettement le phnomne de doublement de priode : cette suite a une limite pour C dans la cardiode (−0,75 < C < 0,25), deux valeurs d'adhrence dans le premier disque (−1,25 < C < −0,75), quatre valeurs dans le disque suivant, etc. Quand C diminue, ces doublements sont de plus en plus rapprochs, et d'intensit faible, tel point qu'ils ont une fin mme s'ils sont en nombre infini. En-dessous d'une certain seuil (pour −2 < C < −1,401155...), au-del de la fin de la suite de disque, les orbites deviennent chaotiques, il y a une infinit de valeurs d'adhrence. Le diagramme est complet, puisque la suite diverge si C < −2 ou C > 0,25, c'est dire l'extrieur de M, dans ce cas il n'y a donc aucune valeur d'adhrence.	Le diagramme de Feigenbaum associ l'itration de la fonction x→x2+C, pour C∈[-3;1]. La ligne rouge reprsente la limite de Feigenbaum (C = −1,401155...) entre la cascade de doublements de priode et le chaos.

2.2.1.1.4. Quelques points remarquables du Mandelbrot

• C=−1,401155... : Le point de Myrberg-Feigenbaum est le point situ la limite de la suite des disques tangents centrs sur l'axe rel, gauche de la cardiode. Cette valeur correspond la fin d'une cascade de doublement de priodes, et est calcule partir de la constante universelle de Feigenbaum. Une conjecture est relie ce point...
  
  On parle aussi de point de Myrberg-Feigenbaum gnralis pour ... chaque composante "hyperbolique" de M (pour chaque petite partie similaire l'ensemble entier).


• Les points de Misiurewicz


• Au voisinage de C=−0,75 : La valle de l'hippocampe (Seahorse Valley) est la rgion situe entre la cardiode et le plus gros disque de M, cette rgion est particulirement riche en dtails, et intressante d'un point de vue graphique.

2.2.1.1.5. Quelques Julia remarquables

• C=i : La dendrite de Julia


• C=−0,75 (et aussi C=−1) : Le dragon de San Marco


• C=−0,391+0,587i : Le disque de Siegel


• C=−0,123+0.745i : Le lapin de Douady (aussi appel dragon de Douady)

2.2.1.2. Un premier algorithme pour tracer les Julia : La mthode d'itration inverse (ou d'orbite inverse)

Zn = ±√

Zn+1−C

.

X_n+1 = 0   et   Y_n+1 = 0.

mn+1 = √

(Xn+1−Cx )2 + (Yn+1−Cy )2

(le module de Zn+1−C, c'est dire la distance du point (Xn+1−Cx ,Yn+1−Cy ) au centre (0,0) )

a_n+1 = arctg[ ^{(Y_n+1−C_y )}/_{(Xn+1−Cx )} ]     (l'argument de Z_n+1−C, c'est dire l'angle entre le vecteur de coordonnes (X_n+1−C_x ,Y_n+1−C_y ) et l'axe des abcisses),

Xn = √

mn+1

⋅ cos(1/2 an+1)

Yn = √

mn+1

⋅ sin(1/2 an+1)

2.2.2. Ensembles de Mandelbrot et Julia gnraliss

Z₀ = z

Z_n+1 = P(Z_n)+C.

X_n+1 = X_n³ − 3 X_n Y_n² + C_x

Y_n+1 = 3 X_n² Y_n − Y_n³ + C_y.

Evidemment, on peut utiliser d'autres fonction qu'un polynme, en particulier une fraction rationnelle (quotient de deux polynmes), le mathmaticien Julia tudiait notamment l'itration de la fonction P(Z) = Z4 + Z3/(Z−1) + Z2/(Z3 + 4 Z2 + 5). On utilise aussi les fonctions drives de l'exponentielle complexe, dans ce cas le paramtre C est gnralement introduit multiplicativement (plutt qu'additivement) dans la formule d'itration, par exemple on parle du "Julia de sinus" pour la formule : Zn+1 = C sin(Zn), qui s'crit en coordonnes relles : Xn+1 = sin(Xn) * [ (Cx−Cy) exp(Yn) + (Cx+Cy) exp(−Yn) ] Yn+1 = sin(Xn) * [ (Cx+Cy) exp(Yn) − (Cx−Cy) exp(−Yn) ].

L'ensemble Julia de sinus pour C=1+0,1i

Z_n+1 = C i cos(Z_n)

Z_n+1 = C exp (Z_n)

Z_n+1 = C Z_n (1 − Z_n)

Z_n+1 = sin(Z_n) + exp(z) + C

Z_n+1 = sin(Z_n) + exp(C) + z

2.2.3. Les fractales de Newton

Sir Isaac Newton, 1642-1727 Newton savait que tout polynme complexe P de degr m, c'est dire une fonction de la forme P(Z)= a0 + a1Z + a2Z2 + ... + amZm, a au plus m racines dans C. Mais quand m est grand, trouver les racines de P (les points o P s'annule, on dit aussi les zros de P) en fonction des coefficients a0, ... ,am devient vite un problme inextricable, et Newton a invent un algorithme de recherche des racines. Il construisait une suite (Zn) par la formule : Z0 = z Zn+1 = Zn − P(Zn)/P′(Zn). Partant d'un z "bien choisi", la suite (Zn) converge vers une racine de P. On appelle ensemble fractal de Newton associ P, not N(P), l'ensemble fractal associ cette formule d'itration. Sa forme semble tisse entre les racines de P. Remarquons qu'on peut prendre n'importe quelle fonction (holomorphe et possdant au moins deux racines de prfrence) la place de P. L'exemple classique est P(Z) = Zm − 1, qui a m racines disposes en rond sur le cercle unit (et comme lorsqu'on compose un bouquet de fleurs, choisir un nombre m impair aboutira une agrable assymtrie...). Par exemple, pour P(Z)=Z3−1, les formules s'crivent de la faon suivante en coordonnes relles : Xn+1 = Xn − ( Xn5 − 10 Xn3 Yn2 + 5 Xn Yn4 − Xn2 + Yn2 )/3( Xn4 + 4 Xn2 Yn2 + Yn4 ) Yn+1 = Yn − ( 5 Xn4 Yn − 10 Xn2 Yn3 + Yn5 − 2 Xn Yn )/3( Xn4 + 4 Xn2 Yn2 + Yn4 ).

L'ensemble N(P) de Newton avec P(Z)=Z5−1

Z_n+1 = Z_n − ^P(Z_n)/_P′(Zn) + C     ou encore     Z_n+1 = Z_n − C ⋅ ^P(Z_n)/_P′(Zn).

Références

Livres et articles

Pages web