N | Ensemble des entiers naturels : 0,1,2,3,... |
R | Ensemble des nombres réels |
Rd | Espace euclidien à d dimensions |
C | Ensemble des nombres complexes (de la forme z = x + iy, avec x et y dans R et i2= −1) |
| Racine carrée de x | |||||
||(x,y)|| | Norme du vecteur (x,y)∈R2, autrement dit la distance entre (x,y) et l'origine (0,0).
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z | Complexe conjugué de z : si z = x + iy alors z = x − iy. | |||||
|z| | Module du nombre complexe z : si z = x + iy alors |z|=||(x,y)||. | |||||
∞ | Infini | |||||
f(n)(x) | f itérée n fois : f(n)(x)=f(f(f(...f(x)...))) | |||||
F | Ensemble fractal générique | |||||
M | Ensemble fractal de Mandelbrot | |||||
J(C) | Ensemble fractal de Julia "plein" (de paramètre C dans C) | |||||
N(P) | Ensemble fractal de Newton (associé au polynome complexe P) |
On introduit le nombre "imaginaire" i tel que i2= −1. Forme cartésienne :
Forme polaire : (on mesure ici les angles en radians, on rappelle que π radians = 180 degrés)
Passage d'une forme à l'autre : On a eiθ = cos(θ) + i sin(θ) (formule d'Euler), d'où
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Représentation cartésienne et polaire d'un nombre complexe z |
Table des matiresAvant-proposPreface Notations Introduction 1. Construction d'un ensemble fractal par itration d'une fonction complexe
1.1. Construction thorique, dfinitions et proprits lmentaires
1.1.1. Orbites et ensemble fractal
1.2. Quelques exemples
1.1.2. Stabilit des orbites
1.1.1. Les fractales de Mandelbrot et de Julia
1.2. Algorithmes de reprsentation
1.1.1.1. Un lien entre Mandelbrot et Julia
1.1.2. Les fractales de Mandelbrot et Julia gnralises1.1.1.2. Description fine du Mandelbrot 1.1.1.3. Un premier algorithme pour tracer les Julia : La mthode d'itration inverse 1.1.3. Les fractales de Newton
1.2.1. Premier temps de sortie
1.2.2. Suites de Cauchy et orbites priodiques 2. Les fractales de Lyapunov
2.1. Formule d'itration
2.2. Exposant de Lyapunov 3. Transformations du plan
3.1. Loupe gaussienne
3.2. Inversion du plan 3.3. Projection sur la sphre de Riemann Rfrences |
Sommaire rapide
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